Đại lượng chuyển động học của một chất điểm cổ điển: khối lượng m, vị trí r, vecto v, gia tốc a.

Chuyển động học của chất điểm là nghiên cứu quỹ đạo của một chất điểm. Vị trí của một chất điểm được định nghĩa là vectơ tọa độ từ gốc của một trục tọa độ đến chất điểm đó. Ví dụ, xét một toà tháp cao 50 m ở phía Nam căn nhà của bạn và đặt gốc toạ độ là nhà bạn đang sống, sao cho phía Đông là trục x, và phía Bắc chỉ trục y, thì vecto toạ độ của đáy toà tháp là r = (0, −50, 0). Nếu toà tháp cao 50 m, thì vecto toạ độ của đỉnh tháp là r = (0, −50, 50).

Ở trường hợp tổng quát nhất, một hệ tọa độ ba chiều được sử dụng để xác định vị trí của một chất điểm. Tuy nhiên, nếu chất điểm được cố định chỉ di chuyển trong một mặt phẳng thì chỉ cần sử dụng hệ trục toạ độ hai chiều. Tất cả các quan sát trong vật lý đều chưa hoàn chỉnh nếu những quan sát được mô tả không được gắn vào trục tham chiếu.

Vecto vị trí của chất điểm là một vecto được vẽ từ gốc toạ độ đến chất điểm đó. Nó thể hiện cả khoảng cách điểm và hướng từ chất điểm đến gốc toạ độ. Trong hệ trục 3 chiều, vị trí của điểm P có thể được viết ở dạng

P = ( x P , y P , z P ) = x P ı ^ + y P ȷ ^ + z P k ^ , {\displaystyle \mathbf {P} =(x_{P},y_{P},z_{P})=x_{P}{\hat {\imath }}+y_{P}{\hat {\jmath }}+z_{P}{\hat {k}},}

với x P {\displaystyle x_{P}} , y P {\displaystyle y_{P}} và z P {\displaystyle z_{P}} thuộc hệ tọa độ Descartes và ı ^ {\displaystyle {\hat {\imath }}} , ȷ ^ {\displaystyle {\hat {\jmath }}} và k ^ {\displaystyle {\hat {k}}} là vecto đơn vị lần lượt dọc theo các trục toạ độ x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} và z {\displaystyle z} . Độ lớn của vector vị trí | P | {\displaystyle \left|\mathbf {P} \right|} cho ta khoảng cách giữa P {\displaystyle \mathbf {P} } và gốc toạ độ.

| P | = x P   2 + y P   2 + z P   2 . {\displaystyle |\mathbf {P} |={\sqrt {x_{P}^{\ 2}+y_{P}^{\ 2}+z_{P}^{\ 2}}}.}

Các cosin chỉ hướng của vector vị trí cung cấp một thước đo định lượng của hướng.Lưu ý quan trọng rằng vecto vị trí của một chất điểm không phải là duy nhất. Vector vị trí của một chất điểm đã cho khác nhau so với các trục tham chiếu khác nhau.

Quỹ đạo của chất điểm là một hàm vecto theo thời gian, P ( t ) {\displaystyle \mathbf {P} (t)} , xác định đường cong được vẽ ra bởi một chất điểm chuyển động, được cho bởi

P ( t ) = x P ( t ) ı ^ + y P ( t ) ȷ ^ + z P ( t ) k ^ , {\displaystyle \mathbf {P} (t)=x_{P}(t){\hat {\imath }}+y_{P}(t){\hat {\jmath }}+z_{P}(t){\hat {k}},}

với toạ độ xP, yP và zP là các hàm phụ thuộc thời gian.

Quãng đường di chuyển luôn luôn lớn hơn hoặc bằng độ dời.

Vận tốc và tốc độ

Vận tốc của chất điểm là đại lượng vecto mô tả hướng và độ lớn chuyển động của chất điểm. Về mặt toán học, tốc độ thay đổi của vectơ vị trí của một chất điểm, liên quan đến thời gian là vận tốc của chất điểm đó. Xét tỉ số được hình thành bằng cách chia khoảng cách hai vị trí của một chất điểm cho khoảng thời gian. Tỉ số này được gọi là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó và được định nghĩa dạng Vận tốc=độ dời/thời gian thực hiện

V ¯ = Δ P Δ t {\displaystyle {\overline {\mathbf {V} }}={\frac {\Delta \mathbf {P} }{\Delta t}}\,}

với ΔP là hiệu của vecto vị trí trong khoảng thời gian Δt.

Giới hạn khoảng thời gian Δt trở nên càng nhỏ, vận tốc trung bình trở thành đạo hàm theo thời gian của vector vị trí,

V = lim Δ t → 0 Δ P Δ t = d P d t = P ˙ = x ˙ p ı ^ + y ˙ P ȷ ^ + z ˙ P k ^ . {\displaystyle \mathbf {V} =\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {P} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {P} }{dt}}={\dot {\mathbf {P} }}={\dot {x}}_{p}{\hat {\imath }}+{\dot {y}}_{P}{\hat {\jmath }}+{\dot {z}}_{P}{\hat {k}}.}

Do đó, vận tốc là thương của sự thay đổi vị trí của một chất điểm với thời gian thực hiện thay đổi, và dấu chấm biểu thị đạo hàm của các hàm x, y và z theo thời gian. Ngoài ra, vận tốc còn là tiếp tuyến với quỹ đạo của chất điểm ở mọi vị trí của chất điểm dọc theo đường đi của nó. Lưu ý rằng trong hệ quy chiếu không xoay, đạo hàm của các trục toạ độ không được xem là hướng của nó và độ lớn không thay đổi.

Tốc độ của một vật là độ lớn |V| của vận tốc. Nó là một đại lượng vô hướng:

| V | = | P ˙ | = d s d t , {\displaystyle |\mathbf {V} |=|{\dot {\mathbf {P} }}|={\frac {ds}{dt}},}

với s là chiều dài cung được đo dọc theo quỹ đạo của chất điểm. Chiều dài cung này là sự di chuyển của một chất điểm theo thời gian là một lượng không giảm. Do đó, ds/dt không âm, qua đó thể hiện rằng vận tốc cũng không âm.

Gia tốc

Vecto vận tốc có thể thay đổi hướng hay độ lớn hay cả hai cùng lúc. Do đó, gia tốc là tốc độ thay đổi độ lớn của vector vận tốc cộng với tốc độ thay đổi hướng của vector vận tốc đó. Giống với việc dựa vào vị trí của chất điểm để xác định vận tốc của nó, ta cũng có thể dựa vào vecto vận tốc để xác định vecto gia tốc. Gia tốc của một chất điểm là vector được xác định bởi tốc độ thay đổi của vector vận tốc. Gia tốc trung bình của một chất điểm được định nghĩa bởi công thức.

A ¯ = Δ V Δ t {\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}={\frac {\Delta \mathbf {V} }{\Delta t}}\,}

với ΔV là hiệu vecto vận tốc và Δt là khoảng thời gian.

Gia tốc của chất điểm là giới hạn của gia tốc trung bình khi khoảng thời gian tiến tới 0, là một phép đạo hàm theo thời gian,

Phương trình 1) A = lim Δ t → 0 Δ V Δ t = d V d t = V ˙ = v ˙ x ı ^ + v ˙ y ȷ ^ + v ˙ z k ^ {\displaystyle \mathbf {A} =\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {V} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {V} }{dt}}={\dot {\mathbf {V} }}={\dot {v}}_{x}{\hat {\imath }}+{\dot {v}}_{y}{\hat {\jmath }}+{\dot {v}}_{z}{\hat {k}}}

hay

A = P ¨ = x ¨ p ı ^ + y ¨ P ȷ ^ + z ¨ P k ^ {\displaystyle \mathbf {A} ={\ddot {\mathbf {P} }}={\ddot {x}}_{p}{\hat {\imath }}+{\ddot {y}}_{P}{\hat {\jmath }}+{\ddot {z}}_{P}{\hat {k}}}

Do đó, gia tốc là đạo hàm bật nhất của vecto vận tốc và là đạo hàm bậc hai của vecto vị trí của chất điểm. Lưu ý rằng trong hệ quy chiếu không xoay, đạo hàm của các trục toạ độ không được xem là hướng của nó và độ lớn không thay đổi.

Độ lớn của gia tốc của một vật là độ lớn |A| của vecto gia tốc của nó. Nó là một đại lượng vô hướng:

| A | = | V ˙ | = d v d t , {\displaystyle |\mathbf {A} |=|{\dot {\mathbf {V} }}|={\frac {dv}{dt}},}

Vecto vị trí tương đối

Một vecto vị trí tương đối là một vectơ xác định vị trí của một điểm tương ứng với một điểm khác. Đó là sự khác biệt về vị trí của hai điểm.Vị trí tương đối của một điểm A tương đối so với điểm B khác hiểu đơn giản là sự chênh lệch giữa các vị trí của chúng

P A / B = P A − P B {\displaystyle \mathbf {P} _{A/B}=\mathbf {P} _{A}-\mathbf {P} _{B}}

đó là sự chênh lệch giữa các vectơ thành phần vị trí của chúng.

Nếu điểm A có các vị trí thành phần P A = ( X A , Y A , Z A ) {\displaystyle \mathbf {P} _{A}=\left(X_{A},Y_{A},Z_{A}\right)}

Nếu điểm B có các vị trí thành phần P B = ( X B , Y B , Z B ) {\displaystyle \mathbf {P} _{B}=\left(X_{B},Y_{B},Z_{B}\right)}

thì vị trí của điểm A so với điểm B là sự chênh lệch giữa các thành phần của chúng: P A / B = P A − P B = ( X A − X B , Y A − Y B , Z A − Z B ) {\displaystyle \mathbf {P} _{A/B}=\mathbf {P} _{A}-\mathbf {P} _{B}=\left(X_{A}-X_{B},Y_{A}-Y_{B},Z_{A}-Z_{B}\right)}

Vận tốc tương đối

Vận tốc tương đối giữa hai chất điểm trong cơ học cổ điển.

Vận tốc của một chất điểm tương đối so với chất điểm khác hiểu đơn giản là sự chênh lệch giữa vận tốc của chúng

V A / B = V A − V B {\displaystyle \mathbf {V} _{A/B}=\mathbf {V} _{A}-\mathbf {V} _{B}}

và là hiệu của các thành phần của vecto vận tốc.

Nếu điểm A có các thành phần vecto vận tốc V A = ( V A x , V A y , V A z ) {\displaystyle \mathbf {V} _{A}=\left(V_{A_{x}},V_{A_{y}},V_{A_{z}}\right)}

và điểm B có các thành phần vecto vận tốc V B = ( V B x , V B y , V B z ) {\displaystyle \mathbf {V} _{B}=\left(V_{B_{x}},V_{B_{y}},V_{B_{z}}\right)}

thì vận tốc tương đối của điểm A so với điểm B là hiệu các thành phần của chúng: V A / B = V A − V B = ( V A x − V B x , V A y − V B y , V A z − V B z ) {\displaystyle \mathbf {V} _{A/B}=\mathbf {V} _{A}-\mathbf {V} _{B}=\left(V_{A_{x}}-V_{B_{x}},V_{A_{y}}-V_{B_{y}},V_{A_{z}}-V_{B_{z}}\right)}

Ngoài ra, kết quả tương tự này có thể thu được bằng cách tính toán đạo hàm thời gian của vector vị trí tương đối RB/A.

Trong trường hợp vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng c (thường trong khoảng 95%), một dạng khác của vận tốc tương đối được gọi là tốc độ nhanh, phụ thuộc vào tỷ lệ giữa V và c, được sử dụng trong thuyết tương đối hẹp.

Gia tốc tương đối

Gia tốc tương đối của điểm C với điểm B khác hiệu đơn giản là sự chênh lệch gia tốc giữa chúng

A C / B = A C − A B {\displaystyle \mathbf {A} _{C/B}=\mathbf {A} _{C}-\mathbf {A} _{B}}

và là sự chênh lệch của các vecto gia tốc thành phần.

Nếu điểm C có các gia tốc thành phần A C = ( A C x , A C y , A C z ) {\displaystyle \mathbf {A} _{C}=\left(A_{C_{x}},A_{C_{y}},A_{C_{z}}\right)}

và điểm B có các gia tốc thành phần A B = ( A B x , A B y , A B z ) {\displaystyle \mathbf {A} _{B}=\left(A_{B_{x}},A_{B_{y}},A_{B_{z}}\right)}

thì gia tốc tương đối của điểm C so với điểm B là hiệu giữa các gia tốc thành phần: A C / B = A C − A B = ( A C x − A B x , A C y − A B y , A C z − A B z ) {\displaystyle \mathbf {A} _{C/B}=\mathbf {A} _{C}-\mathbf {A} _{B}=\left(A_{C_{x}}-A_{B_{x}},A_{C_{y}}-A_{B_{y}},A_{C_{z}}-A_{B_{z}}\right)}

Ngoài ra, kết quả tương tự này có thể thu được bằng cách tính toán đạo hàm bậc hai của vectơ vị trí tương đối PB/A.